matematika 4: 2011

RUMUS SUBSTITUSI DAN ELIMINASI

Rumus Subtitusi adalah rumus yang digunakan dalam ilmu Matematika untuk menyelesaikan suatu persoalan dengan cara menggabungkan persamaan-persamaan yang telah diketahui. Rumus substitusi biasanya sering kali ditemukan dalam pelajaran matematika. Rumus Substitusi ini terdapat dalam materi Sistem Persamaan Linear Dua Variabel. Contoh rumusnya adalah : 2x - 3y = 2, 5x + 2y = 24
Penyelesaian : 2x - 3y = 2, y = (2x - 2) : 3

[sunting] Rumus Eliminasi

Rumus ini juga termasuk rumus yang terdapat pada Sistem Persamaan Linear Dua Variabel atau lebih singkatnya disebut dengan sebutan SPLDV. Rumus matematika ini lebih gampang cara penyelesaiannya dibandingkan dengan rumus substitusi yang berada di atas, karena caranya lebih singkat dibandingkan dengan rumus substitusi yang lebih panjang lagi.
Penyelesaian
2x - 3y = 2 . 2
4x - 10y= -8 -
4x - 6y = 4
4x - 10y= -8 -
4y = 4

y= 1

Selain rumus substitusi dan rumus eliminasi dalam Sistem Persamaan Linear Dua Variabel ini, ada juga rumus penyelesaian SPLDV yang lainnya, yaitu rumus grafika. Rumus grafika ini menggunakan himpunan penyelesaian dan memindahkan himpunan penyelesaian tersebut dalam sebuah grafik yang bernama diagram cartesius yang saat ini sering ditemukan dalam profit/bidang pekerjaan kantoran. Dalam memasukkan himpunan penyelesaian kepada diagram cartesius, angka pertama yang berada dalam himpunan penyelesaiannya harus dimasukkan dulu atau yang sering kita sebut absis (x) kemudian masukkan angka ordinat (y) ke diagram cartesius yang telah dibuat oleh penggaris. Templat:Paragraf penutup

logaritma

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.
Rumus dasar logaritma:
b^c= a ditulis sebagai ^blog a = c (b disebut basis)
Beberapa orang menuliskan ^blog a = c sebagai log_ba = c.

Daftar isi

[sembunyikan]

[sunting] Basis

Basis yang sering dipakai atau paling banyak dipakai adalah basis 10, e≈ 2.71828... dan 2.

[sunting] Notasi

Di Indonesia, kebanyakan buku pelajaran Matematika menggunakan notasi ^blog a daripada log_ba. Buku-buku Matematika berbahasa Inggris menggunakan notasi log_ba
Beberapa orang menulis ln a sebagai ganti ^elog a, log a sebagai ganti ¹⁰log a dan ld a sebagai ganti ²log a.
Pada kebanyakan kalkulator, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis 10 dan LN menunjuk kepada logaritma berbasis e.
Pada beberapa bahasa pemrograman komputer seperti C,C++,Java dan BASIC, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis e.
Terkadang Log x (huruf besar L) menunjuk kepada ¹⁰log x dan log x (huruf kecil L) menunjuk kepada ^elog x.

[sunting] Mencari nilai logaritma

Cara untuk mencari nilai logaritma antara lain dengan menggunakan:

Tabel
Kalkulator (yang sudah dilengkapi fitur log)

[sunting] Rumus

**Logaritma**
a^c = b → ª log b = c

a = basis
b = bilangan yang dilogaritma
c = hasil logaritma
Sifat-sifat Logaritma
ª log a = 1
ª log 1 = 0
ª log aⁿ = n
ª log bⁿ = n • ª log b
ª log b • c = ª log b + ª log c
ª log ^b/c = ª log b – ª log c
ªˆⁿ log b ^m = ^m/n • ª log b
ª log b = 1 ÷ ^b log a
ª log b • ^b log c • ^c log d = ª log d
ª log b = ^c log b ÷ ^c log a

[sunting] Kegunaan logaritma

Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan bⁿ = x, b dapat dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial.

[sunting] Sains dan teknik

Dalam sains, terdapat banyak besaran yang umumnya diekspresikan dengan logaritma. Sebabnya, dan contoh-contoh yang lebih lengkap, dapat dilihat di skala logaritmik.

Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk mengekspresikan konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah 10⁻⁷ pada suhu 25 °C, sehingga pH-nya 7.

Satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti perbandingan nilai daya dan tegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telinga manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama dengan 0.1 bel, lebih sering digunakan.

Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10.

Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.

[sunting] Penghitungan yang lebih mudah

Logaritma memindahkan fokus penghitungan dari bilangan normal ke pangkat-pangkat (eksponen). Bila basis logaritmanya sama, maka beberapa jenis penghitungan menjadi lebih mudah menggunakan logaritma::

Penghitungan dengan angka	Penghitungan dengan eksponen	Identitas Logaritma
$\!\, a b$	$\!\, A + B$	$\!\, \log(a b) = \log(a) + \log(b)$
$\!\frac{a}{b}$	$\!\, A - B$	$\!\, \log(\frac{a}{b}) = \log(a) - \log(b)$
$\!\, a ^ b$	$\!\, A b$	$\!\, \log(a ^ b) = b \log(a)$
$\!\, \sqrt[b]{a}$	$\!\, \frac{A}{b}$	$\!\, \log(\sqrt[b]{a}) = \frac{\log(a)}{b}$

Sifat-sifat diatas membuat penghitungan dengan eksponen menjadi lebih mudah, dan penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum tersedianya kalkulator sebagai hasil perkembangan teknologi modern.
Untuk mengkali dua angka, yang diperlukan adalah melihat logaritma masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan melihat antilog jumlah tersebut dalam tabel. Untuk mengitung pangkat atau akar dari sebuah bilangan, logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di tabel, lalu hanya mengkali atau membagi dengan radix pangkat atau akar tersebut.

[sunting] Kalkulus

Turunan fungsi logaritma adalah

$\frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x \ln(b)} = \frac{\log_b(e)}{x}$

dimana ln adalah logaritma natural, yaitu logaritma yang berbasis e. Jika b = e, maka rumus diatas dapat disederhanakan menjadi

$\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}.$

Integral fungsi logaritma adalah

$\int \log_b(x) \,dx = x \log_b(x) - \frac{x}{\ln(b)} + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C$

Integral logaritma berbasis e adalah

$\int \ln(x) \, dx= x \ln(x) - x + C\,$

Sebagai contoh carilah turunan

log(x)

[sunting] Penghitungan nilai logaritma

Nilai logaritma dengan basis b dapat dihitung dengan rumus dibawah ini.

$\log_b(x) = \frac{\log_e(x)}{\log_e(b)} \qquad \mbox{ or } \qquad \log_b(x) = \frac{\log_2(x)}{\log_2(b)}$

Sedangkan untuk logaritma berbasis e dan berbasis 2, terdapat prosedur-prosedur yang umum, yang hanya menggunakan penjumlahan, pengurangan, pengkalian, dan pembagian.

INTEGRAL

Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah $\int\,$
Integral terbagi dua yaitu integral tak tentu dan integral tertentu. Bedanya adalah integral tertentu memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tertentu biasanya dipakai untuk mencari volume benda putar dan luas.

Daftar isi

[sembunyikan]

[sunting] Mencari nilai integral

[sunting] Substitusi

Contoh soal:

Cari nilai dari: $\int \frac{ln x}{x}\,dx\,$

$t = \ln x, dt = \frac{dx}{x}$

$\int \frac{ln x}{x}\,dx\, = \int t\,dt$

$= \frac {1}{2} t^2 + C$

$= \frac {1}{2} ln^2x + C$

[sunting] Integrasi parsial

Integral parsial menggunakan rumus sebagai berikut:

$\int f(x)g(x)\,dx = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)$

Contoh soal:

Cari nilai dari: $\int \ln x \,dx\,$

$f'(x) = 1, f(x) = x, g(x) = ln x, g'(x) = \frac{1}{x}\,$

Gunakan rumus di atas

$\int \ln x\ dx = x ln x - \int x\frac{1}{x}\,dx\,$

$= x ln x - \int 1\,dx\,$

$= x ln x - x + C\,$

[sunting] Substitusi trigonometri

Bentuk	Gunakan
$\sqrt{a^2-b^2x^2}\,$	$x = \frac{a}{b}\sin \alpha\,$
$\sqrt{a^2+b^2x^2}\,$	$\!\, x = \frac{a}{b}\tan \alpha\,$
$\sqrt{b^2x^2-a^2}\,$	$\, x = \frac{a}{b}\sec \alpha\,$

Contoh soal:

Cari nilai dari: $\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}\,$

$x = 2 \tan A, dx = 2 \sec^2 A\,dA\,$

$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{(2 tan A)^2\sqrt{4 + (2 tan A)^2}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4 + 4 tan^2A}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4(1+tan^2A)}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4 sec^2A}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A.2sec A}\,$

$= \int \frac {sec A\,dA}{4 tan^2A}\,$

$= \frac {1}{4}\int \frac {secA\,dA}{tan^2A}\,$

$= \frac {1}{4}\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,$

Cari nilai dari: $\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,$ dengan menggunakan substitusi

$t = sin A, dt = cos A\,dA\,$

$\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,$

$= \int \frac{dt}{t^2}\,$

$= \int t^{-2}\,dt\,$

$= -t^{-1} + C= -\frac{1}{sin A} + C\,$

Masukkan nilai tersebut:

$= \frac {1}{4}\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,$

$= \frac {1}{4}.-\frac{1}{sin A} + C\,$

$= -\frac {1}{4 sin A} + C\,$

Nilai sin A adalah $\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$

$= -\frac {1}{4 sin A} + C\,$

$= -\frac {\sqrt{x^2+4}}{4x} + C\,$

[sunting] Integrasi pecahan parsial

Contoh soal:

Cari nilai dari: $\int\frac{dx}{x^2-4}\,$

$\frac{1}{x^2-4} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-2}\,$

$= \frac {A(x-2) + B(x+2)}{x^2-4}\,$

$= \frac{Ax-2A+Bx+2B}{x^2-4}\,$

$=\frac{(A+B)x-2(A-B)}{x^2-4}\,$

Akan diperoleh dua persamaan yaitu $A+B = 0\,$ dan $A-B = -\frac{1}{2}$

Dengan menyelesaikan kedua persamaan akan diperoleh hasil $A = -\frac{1}{4}, B = \frac{1}{4}\,$

$\int\frac{dx}{x^2-4}\,$

$= \frac{1}{4} \int (\frac{1}{x-2} - \frac {1}{x+2})\,dx\,$

$= \frac{1}{4} (ln|x-2| - ln|x+2|) + C\,$

$= \frac{1}{4} ln|\frac{x-2}{x+2}| + C\,$

[sunting] Rumus integrasi dasar

[sunting] Umum

[sunting] Bilangan natural

$\int e^u du= e^u + C\,$

[sunting] Logaritma

$\int \log_b(x) \,dx = x \log_b(x) - \frac{x}{\ln(b)} + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C$

[sunting] Trigonometri

$\int\sin x\,dx = -\cos x + C\,$

$\int\cos x\,dx = \sin x + C\,$

$\int\tan x\,dx = \ln |\sec x| + C\,$

$\int\cot x\,dx = \ln |\sin x| + C\,$

$\int\sec x\,dx = \ln |\sec x + \tan x| + C\,$

$\int\csc x\,dx = \ln |\csc x - \cot x| + C\,$

$\int\sec^2 x\,dx = \tan x + C\,$

$\int\csc^2 x\,dx = - \cot x + C\,$

$\int\sec x\tan x\,dx = \sec x + C\,$

$\int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C\,$

Rabu, 02 November 2011

RUMUS SUBSTITUSI DAN ELIMINASI

[sunting] Rumus Eliminasi

logaritma

Daftar isi

[sunting] Basis

[sunting] Notasi

[sunting] Mencari nilai logaritma

[sunting] Rumus

[sunting] Kegunaan logaritma

[sunting] Sains dan teknik

[sunting] Penghitungan yang lebih mudah

[sunting] Kalkulus

[sunting] Penghitungan nilai logaritma

INTEGRAL

Daftar isi

[sunting] Mencari nilai integral

[sunting] Substitusi

[sunting] Integrasi parsial

[sunting] Substitusi trigonometri

[sunting] Integrasi pecahan parsial

[sunting] Rumus integrasi dasar

[sunting] Umum

[sunting] Bilangan natural

[sunting] Logaritma

[sunting] Trigonometri